“[Floer] homoloji teorisi sadece manifoldunuzun topolojisine bağlıdır. [This] Floer’ın inanılmaz içgörüsü,” dedi Agustin Moreno İleri Araştırma Enstitüsü’nden.
Sıfıra Bölme
Floer teorisi, dahil olmak üzere birçok geometri ve topoloji alanında çılgınca yararlı oldu. ayna simetrisi ve düğümlerin incelenmesi.
Manolescu, “Konunun merkezindeki araç bu,” dedi.
Ancak Floer teorisi, Arnold varsayımını tamamen çözmedi çünkü Floer’in yöntemi yalnızca bir tür manifold üzerinde çalıştı. Sonraki yirmi yıl boyunca, simplektik geometriciler bir büyük topluluk çabası Bu engeli aşmak için. Sonunda, çalışma, homolojinin rasyonel sayılar kullanılarak hesaplandığı Arnold varsayımının bir kanıtına yol açtı. Ancak delikler döngüsel sayılar gibi diğer sayı sistemleri kullanılarak sayıldığında Arnold varsayımını çözmedi.
Çalışmanın döngüsel sayı sistemlerini kapsamamasının nedeni, ispatın belirli bir nesnenin simetri sayısına bölünmesini içermesidir. Rasyonel sayılarda bu her zaman mümkündür. Ancak döngüsel sayılarla bölme daha titizdir. Sayı sistemi beşten sonra dönerse – 0, 1, 2, 3, 4, 0, 1, 2, 3, 4 sayarak – o zaman 5 ve 10 sayılarının ikisi de sıfıra eşittir. (Bu, 13:00’in 1 pm ile aynı olmasına benzer.) Sonuç olarak, bu ayarda 5’e bölme, sıfıra bölme ile aynıdır – matematikte yasak olan bir şeydir. Birisinin bu sorunu aşmak için yeni araçlar geliştirmesi gerektiği açıktı.
Abouzaid, “Birisi bana Floer teorisinin gelişmesini engelleyen teknik şeylerin neler olduğunu sorarsa, akla gelen ilk şey, bu paydaları tanıtmamız gerektiğidir” dedi.
Floer’in teorisini genişletmek ve Arnold varsayımını döngüsel sayılarla kanıtlamak için Abouzaid ve Blumberg’in homolojinin ötesine bakmaları gerekiyordu.
Topologun Kulesine Tırmanmak
Matematikçiler genellikle homolojiyi bir şekle belirli bir tarifi uygulamanın sonucu olarak düşünürler. 20. yüzyıl boyunca, topologlar homolojiye, onu oluşturmak için kullanılan süreçten bağımsız olarak kendi terimleriyle bakmaya başladılar.
“Tarifi düşünmeyelim. Tariften ne çıkacağını düşünelim. Bu homoloji grubu hangi yapıya, hangi özelliklere sahipti?” dedi Abouzaid.
Topologlar, homoloji ile aynı temel özellikleri karşılayan başka teoriler aradılar. Bunlar genelleştirilmiş homoloji teorileri olarak bilinir hale geldi. Temelde homoloji ile topologlar, tümü uzayları sınıflandırmak için kullanılabilecek, giderek karmaşıklaşan genelleştirilmiş homoloji teorilerinden oluşan bir kule inşa ettiler.
Floer homoloji, zemin kat homoloji teorisini yansıtır. Ancak simplektik geometriciler, kulenin daha yukarısında topolojik teorilerin Floer versiyonlarını geliştirmenin mümkün olup olmadığını uzun zamandır merak ediyor: Genelleştirilmiş homolojiyi, tıpkı Floer’in orijinal teorisinin yaptığı gibi, sonsuz boyutlu bir ortamda bir uzayın belirli özellikleriyle birleştiren teoriler.
Floer, 1991’de 34 yaşında öldükten sonra bu çalışmayı kendisi deneme fırsatı bulamadı. Ancak matematikçiler onun fikirlerini genişletmenin yollarını aramaya devam ettiler.
Yeni Bir Teori Kıyaslama
Şimdi, yaklaşık beş yıllık bir çalışmanın ardından Abouzaid ve Blumberg bu vizyonu gerçekleştirdiler. Yeni makaleleri Morava’nın bir Floer versiyonunu geliştiriyor K– daha sonra döngüsel sayı sistemleri için Arnold varsayımını kanıtlamak için kullandıkları teori.
Keating, “Bunun bizim için Floer’ın orijinal çalışmasına kadar uzanan bir döngüyü tamamladığına dair bir his var” dedi.
Kaynak : https://www.wired.com/story/mathematicians-transcend-a-geometric-theory-of-motion